Publication : Allan Variance Computed in Space Domain : Definition and Application to InSAR Data to Characterize Noise and Geophysical Signal.
IEEE TRANSACTIONS ON ULTRASONICS, FERROELECTRICS, AND FREQUENCY CONTROL, VOL. 63, NO. 4, APRIL 2016
La variation d’Allan (AVAR), du nom du physicien qui l’a établie il y a 50 ans, est une grandeur mathématique qui fut introduite pour estimer la stabilité dans le temps de la fréquence des oscillateurs et notamment des horloges atomiques.
Cette variance, connue aussi sous le nom de variance à deux échantillons, correspond à la moyenne des différences au carré de deux échantillons successifs d’un signal temporel. En variant la durée des échantillons, la variance d’Allan rend donc compte de la stabilité du signal à différentes échelles de temps (Figure 1).
Figure 1 – A) Signal temporel y(t) (courbe bleue) et signal moyenné sur le temps d’intégration, τ (courbe rouge).
B) Réponse impulsionnelle de la variance d’Allan (que l’on convolue au signal moyenné sur τ).
C) Exemple de diagramme AVAR vs temps d’intégration. Le signal analysé (courbe rouge passant au mieux par les barres d’erreur en noir) possède 2 asymptotes. A haute fréquence (petit τ), le signal tend vers une droite de pente 1/2τ caractéristique du bruit blanc, tandis qu’à basse fréquence, le signal tend vers une droite de pente nulle caractéristique d’un bruit de scintillation (« flicker noise »).
Cet estimateur est si efficace qu’il fut progressivement introduit dans les domaines connexes (capteurs inertiels, température ou voltage), puis dans beaucoup d’autres domaines traitant des séries temporelles comme la géodésie, l’astrophysique ou la géophysique pour le GPS. Aujourd’hui, même la finance utilise cet outil pour optiminer les retours financiers. Cependant cette grandeur mathématique n’avait été définie que pour les données 1D. Cet article présente un prolongement de la définition de la variance d’Allan à des données spatiales (AVAR 2D, Figure 2) et montre son efficacité pour l’interférométrie radar (InSAR), technique permettant d’imager la déformation de la surface terrestre.
Figure 2 - De la variance d’Allan classique à l’AVAR 2D : définition d’une nouvelle fonction, nommée au regard de sa forme « le Chapeau d’Allan ».
L’InSAR, en sciences de la Terre, est une technique consistant à mesurer le déplacement de la surface terrestre par différentiation de la phase d’images radar diachroniques. Comme dans toutes mesures, le signal recherché est mélangé à différents types de bruit. La mesure InSAR s’écrit donc comme la somme de plusieurs composantes (modulo 2π) : le déplacement du sol et les différentes sources de bruit. Lorsque le rapport signal sur bruit est faible, la détection du mouvement du sol devient alors problématique.
Une application de l’AVAR spatiale a été de caractériser la signature spectrale de chaque composante de la mesure, qu’elle soit du signal ou du bruit. Ceci a permis de mettre en évidence les longueurs d’ondes spatiales les moins affectées par le bruit de la mesure afin de mieux détecter le signal géophysique. La Figure 3 met en évidence que le bruit atmosphérique due à la stratification de l’atmosphère va produire un signal présentant de grande longueur d’onde. Dans le cas de l’Anatolie orientale, ce spectre est très proche de celui du signal recherché. La correction d’un tel bruit est donc cruciale pour mesurer correctement la déformation par InSAR.
Figure 3 – (a) Mesure de la différence de phase (en radian) de 2 images radar couvrant l’Anatolie orientale. Cette mesure est dominée par les délais de propagation lors du passage des ondes radar dans la basse atmosphère. (b) Signature AVAR 2D de ces délais atmosphériques.
Finalement, Le travail fait en 2D peut être étendu à une troisième dimension. Celle-ci peut-être spatiale (pour l’étude du champ 3D d’un paramètre physique par exemple) ou le temps pour l’étude spatio-temporelle de l’évolution de la déformation terrestre dans notre cas.
Contacts :
Géoazur (UNS-CNRS-OCA-IRD) : Olivier Cavalié
email : ocavalie@geoazur.unice.fr
UTINAM (CNRS-UFC-OSU) : François Vernotte
email : francois.vernotte@obs-besancon.fr
